Bảng công thức đạo hàm đầy đủ sơ cấp, cao cấp, lượng giác lớp 11, 12

Đóng góp bởi Dương Trúc Phương09/01

Để học tập và giải các bài toán đạo hàm hiệu quả, xem ngay các mẫu laptop cho học sinh, sinh viên giá tốt:

Trả chậm 0% trả trước 0đ

Asus Vivobook Go E1504FA R5 7520U (BQ1160W)

14.390.000₫

15.290.000₫ -5%

Trả chậm 0%

MacBook Air 13 inch M4 16GB/256GB Sạc 70W

25.890.000₫

27.090.000₫

Trả chậm 0% trả trước 0đ

HP 15 fc0023AU R5 7520U (D0BH1PA)

16.490.000₫

17.590.000₫ -6%

Trả chậm 0% trả trước 0đ

HP 245 G10 R5 7530U (B8PF9AT)

13.690.000₫

15.590.000₫ -12%

Trả chậm 0% trả trước 0đ

MacBook Air 13 inch M4 16GB/256GB

25.590.000₫

26.490.000₫

Trả chậm 0% trả trước 0đ

Dell 15 DC15250 i5 1334U (DC5I5897W1)

19.290.000₫

19.990.000₫

Trả chậm 0% trả trước 0đ

Asus Vivobook 15 X1504VA Core 5 120U (BQ185WS)

19.190.000₫

19.890.000₫

Trả chậm 0% trả trước 0đ

Acer Aspire Lite 14 AL14 71M 52GQ i5 12500H (NX.J4ASV.001)

15.290.000₫

16.990.000₫ -10%

Trả chậm 0% trả trước 0đ

HP Probook 455 G10 R5 7530U (B8PG7AT)

17.990.000₫

20.990.000₫ -14%

Xem thêm sản phẩm Laptop

Đạo hàm là nền tảng cốt lõi của giải tích (một nhánh toán học nghiên cứu sự thay đổi), giúp xác định tốc độ biến thiên của hàm số tại một điểm. Việc nắm vững bảng công thức đạo hàm và quy tắc tính là chìa khóa để giải quyết mọi bài toán từ cơ bản đến nâng cao!

1. Quy tắc tính đạo hàm chung

Định nghĩa: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu: F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm là: ∫f(x)dx = F(x) + C (trong đó C là hằng số tích phân).

Cho các hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có các quy tắc cơ bản sau:

➕ Tổng/Hiệu: (u ± v)' = u' ± v'
✖️ Tích: (u . v)' = u'v + uv'
➗ Thương: (u/v)' = (u'v - uv') / v² (với v(x) ≠ 0)
🔗 Hàm hợp: y'(x) = y'(u) . u'(x)

Quy tắc tính đạo hàm chung

2. Bảng công thức đạo hàm sơ cấp và hàm hợp đầy đủ nhất

Dưới đây là bảng tra cứu nhanh giúp bạn không bỏ lỡ bất kỳ công thức quan trọng nào:

Bảng công thức đạo hàm sơ cấp và hàm hợp

Đạo hàm hàm sơ cấp	Đạo hàm hàm hợp u = u(x)
(c)' = 0 (c là hằng số)	(ku)' = k.u'
(x)' = 1	(x^α)' = α.x^α-1
(1/x)' = -1/x²	(1/u)' = -u'/u²
(√x)' = 1/(2√x)	(√u)' = u'/(2√u)
(sin x)' = cos x	(sin u)' = u'.cos u
(cos x)' = -sin x	(cos u)' = -u'.sin u
(e^x)' = e^x	(e^u)' = u'.e^u
(ln x)' = 1/x	(ln u)' = u'/u

3. Bảng công thức đạo hàm phân thức hữu tỉ

•

ax + b

cx + d

' =

ad - bc

(cx + d)²

với c ≠ 0 và ad - bc ≠ 0.
• Với a.a' ≠ 0 có:

ax² + bx + c

a'x + b'

' =

aa'x² + 2ab'x + bb' - a'c

(a'x + b')²
•

ax² + bx + c

a₁x² + b₁x + c₁

' =

a ba₁ b₁
x² +

a ca₁ c₁
2x +

b cb₁ c₁

(a₁x² + b₁x + c₁)²

💡 Mẹo: Để tính nhanh tử số của hàm bậc hai/bậc hai, bạn hãy nhớ thứ tự các cặp định thức là (a,b), (a,c) và (b,c). Đừng quên hệ số ở giữa luôn phải nhân thêm 2 nhé!

Bảng công thức đạo hàm phân thức hữu tỉ

4. Bảng công thức đạo hàm cấp cao

Việc nắm vững các công thức đạo hàm cấp n dưới đây sẽ giúp bạn giải quyết nhanh các bài toán dãy số, khai triển Taylor hoặc các bài toán cực trị phức tạp trong đề thi năm 2026.

(x^m)⁽ⁿ⁾ = m(m - 1)(m - 2)...(m - n + 1) . x^{m - n} nếu m ≥ n
(x^m)⁽ⁿ⁾ = 0 nếu m < n
• (log_a x)⁽ⁿ⁾ = (-1)^n-1 .

(n - 1)!

ln a

.

1

xⁿ
• (ln x)⁽ⁿ⁾ = (-1)^n-1 . (n - 1)! . x^-n
• (e^kx)⁽ⁿ⁾ = kⁿ . e^kx
• (a^x)⁽ⁿ⁾ = (ln a)ⁿ . a^x
• (sin ax)⁽ⁿ⁾ = aⁿ . sin(ax + n .

π

2

)
• (cos ax)⁽ⁿ⁾ = aⁿ . cos(ax + n .

π

2

)

(

1

ax + b

)⁽ⁿ⁾ = (-1)ⁿ . aⁿ . n! .

1

(ax + b)ⁿ⁺¹

📍 Mẹo ghi nhớ : Đối với các hàm lượng giác Sin và Cos, đạo hàm cấp cao thực chất là phép tịnh tiến góc một lượng bằng n.π/2. Hãy vẽ vòng tròn lượng giác để hình dung tốc độ thay đổi này nhé!

Bảng công thức đạo hàm cấp cao

5. Bảng công thức đạo hàm lượng giác & hàm lượng giác ngược

Hệ thống đạo hàm lượng giác là phần kiến thức không thể thiếu để giải quyết các bài toán về dao động điều hòa và các hàm tuần hoàn. Hãy cùng tra cứu bảng chi tiết dưới đây:

• (sin x)' = cos x
• (cos x)' = -sin x
• (tan x)' = (

sin(x)

cos(x)

)' =

cos² x + sin² x

cos² x

=

1

cos² x

= sec² x.
• (cot x)' = (

cos(x)

sin(x)

)' =

-cos² x - sin² x

sin² x

= -

1

sin² x

= -(1 + cot² x) = -csc² x.
• (sec x)' = (

1

cos(x)

)' =

sin x

cos² x

=

1

cos x

.

sin x

cos x

= sec(x) tan x.
• (csc x)' = (

1

sin(x)

)' = -

cos x

sin² x

= -

1

sin x

.

cos x

sin x

= -csc(x) cot x.
• (arcsin(x))' =

1

√(1 - x²)

.
• (arccos(x))' =

-1

√(1 - x²)

.
• (arctan(x))' =

1

x² + 1

.

💡 Lưu ý quan trọng: Các đơn vị góc trong các công thức trên mặc định sử dụng Radian. Nếu đề bài cho độ, bạn cần đổi sang Radian trước khi tính toán để tránh sai số nhé!

Bảng công thức đạo hàm lượng giác & hàm lượng giác ngược

6. Ví dụ minh họa và Giải bài tập chi tiết

Để giúp bạn nắm vững cách áp dụng bảng công thức, Thế Giới Di Động đã tổng hợp các ví dụ điển hình với hướng dẫn giải chi tiết dưới đây:

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) f(x) = 4x² - 7x
b) f(x) = (2 + 3x)(x - 2)
c) f(x) =

3x - 2

x²

Hướng dẫn giải:

a) f'(x) = (4x²)' - (7x)' = 8x - 7.

b) f'(x) = (2 + 3x)'(x - 2) + (2 + 3x)(x - 2)' = 3(x - 2) + (2 + 3x).1 = 6x - 4.

c) Với x ≠ 0, áp dụng quy tắc (u/v)':

f'(x) =

3.x² - (3x - 2).2x

x⁴

-3x² + 4x

x⁴

-3x + 4

x³

Ví dụ 2: Đạo hàm hàm lượng giác phức hợp

Tính đạo hàm của hàm số: y' =

(sin x)' . sin x cos x - sin x . (sin x cos x)'

(sin x cos x)²

Kết quả rút gọn cuối cùng: y' =

sin x

cos² x

Ví dụ 3:

Các khẳng định (Bài tập Đúng/Sai)	Đáp án
1. Đạo hàm của y = -4x² + 5x - 1 là y' = -8x + 5	Đúng
2. Hàm số y = x + 2√x có đạo hàm y' = 1 + 1/√x	Đúng
3. Tiếp tuyến của y = x³ + 2x tại x₀ = 1 có hệ số góc bằng 5	Đúng

Ví dụ 4: Cho hàm số y = x³ + 2x² - 5x + 4.

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại hoành độ x₀ = -2.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc tiếp tuyến bằng -6.

Hướng dẫn giải:

Ta có đạo hàm: y'(x) = 3x² + 4x - 5.

a) Tại hoành độ x₀ = -2:

Tính tung độ: y₀ = (-2)³ + 2(-2)² - 5(-2) + 4 = 14.
Tính hệ số góc: y'(-2) = 3(-2)² + 4(-2) - 5 = -1.
Phương trình tiếp tuyến: y - 14 = -1[x - (-2)] hay y = -x + 12.

b) Tiếp tuyến có hệ số góc bằng -6:

Gọi A(x₀; y₀) là tiếp điểm. Ta có phương trình: y'(x₀) = -6 ⇔ 3x₀² + 4x₀ - 5 = -6 ⇔ 3x₀² + 4x₀ + 1 = 0.

Giải phương trình ta được: x₀ = -1 hoặc x₀ =

-1

Trường hợp 1: Với x₀ = -1 → y₀ = 10. Phương trình tiếp tuyến: y - 10 = -6(x + 1) hay y = -6x + 4.
Trường hợp 2: Với x₀ =

-1

3

→ y₀ =

158

27

.
Phương trình tiếp tuyến: y -

158

27

= -6(x +

1

3

) hay y = -6x +

104

27

.

7. Ứng dụng đạo hàm trong Vật lý (Thực tế)

Đạo hàm không chỉ là toán học khô khan, nó giúp ta giải quyết các bài toán vận tốc và gia tốc tức thời:

💡 Bài toán chuyển động: Phương trình s(t) có đạo hàm là vận tốc v(t) = s'(t). Đạo hàm bậc hai là gia tốc a(t) = s''(t).

Ví dụ: Một vật rơi tự do có s(t) = 1/2gt². Vận tốc chạm đất chính là đạo hàm s'(t) tại thời điểm chạm đất.

8. Câu hỏi thường gặp

Làm sao để nhớ hết bảng đạo hàm?

Nên kết hợp làm bài tập và sử dụng sơ đồ tư duy. Luôn nhớ các hàm có chữ "c" (cos, cot, csc) đạo hàm thường có dấu trừ.

Đạo hàm tại một điểm là gì?

Là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị tại điểm đó, phản ánh độ dốc và chiều biến thiên.

Ý nghĩa vật lý của đạo hàm là gì?

Đạo hàm của quãng đường theo thời gian là vận tốc tức thời, và đạo hàm của vận tốc theo thời gian là gia tốc của chuyển động.

Khi nào một hàm số không có đạo hàm tại một điểm?

Hàm số không có đạo hàm tại điểm đó nếu đồ thị bị đứt gãy (không liên tục) hoặc tại các điểm "nhọn" (vị trí mà tiếp tuyến không duy nhất hoặc thẳng đứng).

Xem thêm các mẫu laptop GIẢM SỐC đang kinh doanh tại Thế Giới Di Động:

Trả chậm 0%