Số nguyên tố là gì? Bảng số nguyên tố, ví dụ minh hoạ, cách tìm

Đóng góp bởi Dương Trúc Phương19/12

Tham khảo ngay các mẫu điện thoại đang kinh doanh tại Thế Giới Di Động, hỗ trợ bạn trong học tập và giải trí:

Trả chậm 0%

iPhone 17 Pro 256GB

Online giá rẻ quá

34.690.000₫

34.990.000₫

Trả chậm 0%

iPhone 17 Pro Max 256GB 37.990.000₫

Trả chậm 0% trả trước 0đ

Samsung Galaxy S25 FE 5G 8GB/256GB

15.490.000₫

18.490.000₫ -16%

Trả chậm 0% trả trước 0đ

Samsung Galaxy A17 5G 8GB/256GB

6.390.000₫

7.090.000₫ -9%

Trả chậm 0% trả trước 0đ

OPPO Find X9 Pro 5G 16GB/512GB 32.990.000₫

Trả chậm 0% trả trước 0đ

OPPO Find X9 5G 12GB/256GB 22.990.000₫

Trả chậm 0%

Xiaomi 15T Pro 5G 12GB/256GB 18.490.000₫

Trả chậm 0% trả trước 0đ

Xiaomi 15T 5G 12GB/256GB

13.490.000₫

13.990.000₫ -3%

Trả chậm 0% trả trước 0đ

vivo V60 Lite 5G 8GB/256GB 10.490.000₫

Xem thêm sản phẩm Điện thoại

Số nguyên tố là những yếu tố cơ bản xây dựng nên thế giới số học, với nhiều ứng dụng quan trọng từ mật mã bảo mật cho đến các hiện tượng tự nhiên. Bài viết này sẽ giải thích chi tiết số nguyên tố là gì, các tính chất đặc trưng, phương pháp tìm kiếm hiệu quả và những ứng dụng không ngờ trong công nghệ. Hãy cùng khám phá ngay!

1. Số nguyên tố là gì?

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có đúng hai ước số dương phân biệt là 1 và chính nó, không thể chia hết cho bất kỳ số nào khác ngoài 1 và bản thân nó

Những số như 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,... là các số nguyên tố. Ngược lại, các số tự nhiên lớn hơn 1 có nhiều hơn hai ước số được gọi là hợp số, ví dụ số 4 (ước là 1, 2, 4) hay số 6 (ước là 1, 2, 3, 6). Một lưu ý cực kỳ quan trọng là số 0 và số 1 không phải là số nguyên tố. Lý do: số 1 chỉ có duy nhất 1 ước (là chính nó), còn số 0 lại có vô số ước, nên chúng không thỏa điều kiện "có đúng 2 ước".

Bên cạnh đó, cần phân biệt số nguyên tố với hợp số. Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 nhưng có nhiều hơn hai ước số. Ví dụ: 4 là hợp số vì chia hết cho 1, 2, 4; tương tự, 6 là hợp số vì có các ước là 1, 2, 3, 6.

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ chia hết cho 1 và cho chính nó

2. Các tính chất đặc trưng của số nguyên tố

Số nguyên tố sở hữu nhiều tính chất rất độc đáo, khiến chúng trở thành đối tượng nghiên cứu hấp dẫn trong toán học và ứng dụng thực tế. Dưới đây là những đặc điểm nổi bật.

Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất

Đây là tính chất rất đặc biệt. Trong toán học, mọi số chẵn lớn hơn 2 đều có ít nhất 3 ước (1, 2 và chính nó), nên chắc chắn là hợp số. Vì vậy, số 2 là trường hợp ngoại lệ duy nhất vừa là số chẵn, vừa là số nguyên tố.

Dãy số nguyên tố là vô hạn

Tập hợp các số nguyên tố là không có giới hạn trên. Điều này đã được nhà toán học Euclid chứng minh từ thời Cổ đại: dù bạn có tìm được một số nguyên tố lớn đến đâu, vẫn luôn tồn tại những số nguyên tố lớn hơn nữa.

Định lý cơ bản của số học

Đây được xem là "xương sống" của số học, khẳng định rằng: Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều có thể được phân tích duy nhất thành tích các thừa số nguyên tố (không kể thứ tự).

Ví dụ: 12 chỉ có thể phân tích thành 2 × 2 × 3. Không tồn tại bộ thừa số nguyên tố khác nhân lại bằng 12.

3. Bảng số nguyên tố nhỏ hơn 1000

Có 25 số nguyên tố từ 1 đến 100 (chính xác là nhỏ hơn 100, bắt đầu từ 2). Có 168 số nguyên tố từ 1 đến 1000 (chính xác là nhỏ hơn hoặc bằng 1000, với số lớn nhất là 997).

Dưới đây là danh sách các số nguyên tố dưới 100, rất hữu ích cho việc học và làm bài tập phân tích thừa số:

2	3	5	7	11
13	17	19	23	29
31	37	41	43	47
53	59	61	67	71
73	79	83	89	97

Từ 101 đến 1000

101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997

Từ 1001 đến 2000

1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999

Từ 2001 đến 10000 (tóm tắt số lượng theo nhóm)

2000-3000: 148 số (bắt đầu 2003, kết thúc 2999)
3000-4000: 135 số (bắt đầu 3001, kết thúc 3967)
4000-5000: 111 số (bắt đầu 4001, kết thúc 4993)
5000-6000: 106 số (bắt đầu 5003, kết thúc 5999)
6000-7000: 114 số (bắt đầu 6007, kết thúc 6977)
7000-8000: 95 số (bắt đầu 7001, kết thúc 7993)
8000-9000: 90 số (bắt đầu 8009, kết thúc 8999)
9000-10000: 95 số (bắt đầu 9001, kết thúc 9973)

4. Cách kiểm tra một số có phải số nguyên tố không?

Việc xác định tính nguyên tố của một số là kỹ năng quan trọng. Bạn có thể áp dụng các phương pháp sau, từ thủ công đến dùng công cụ hỗ trợ.

Phương pháp chia thử (thủ công)

Đây là cách cơ bản và dễ hiểu nhất, thường được dạy ở chương trình phổ thông.

Bước 1: Lấy số tự nhiên A cần kiểm tra (A > 1).

Bước 2: Lần lượt chia A cho các số nguyên tố bắt đầu từ 2.

Bước 3: Nếu A chia hết cho một số nguyên tố nào đó (khác A) thì A là hợp số. Nếu đã thử chia đến căn bậc hai của A (√A) mà không có phép chia hết, thì A là số nguyên tố.

Ví dụ: Kiểm tra 29. Căn bậc hai của 29 xấp xỉ 5,3 nên chỉ cần thử chia cho các số nguyên tố 2, 3, 5. Vì 29 không chia hết cho bất kỳ số nào trong ba số này, nên 29 là số nguyên tố.

Phương pháp chia thử

Sử dụng máy tính cầm tay / ứng dụng

Các dòng máy tính Casio hiện nay có chức năng phân tích thừa số rất nhanh. Ngoài ra, bạn có thể dùng các ứng dụng toán học trên smartphone để kiểm tra.

Bước 1: Nhập số cần kiểm tra.

Bước 2: Nhấn =, sau đó dùng tổ hợp SHIFT + FACT (tùy dòng máy).

Bước 3: Nếu kết quả vẫn là chính số đó thì đó là số nguyên tố; nếu kết quả là tích các số nhỏ hơn, đó là hợp số.

Sàng Eratosthenes

Đây là thuật toán cổ điển nhưng rất hiệu quả để tìm tất cả số nguyên tố nhỏ hơn một số cho trước: liệt kê các số từ 2 trở đi, rồi lần lượt gạch bỏ bội số của 2, 3, 5,… Các số còn lại chưa bị gạch chính là số nguyên tố.

Để thực hành tìm số nguyên tố, bạn có thể tham khảo các mẫu điện thoại có ứng dụng máy tính mạnh mẽ:

Trả chậm 0%

iPhone 17 Pro 256GB

Online giá rẻ quá

34.690.000₫

34.990.000₫

Trả chậm 0%

iPhone 17 Pro Max 256GB 37.990.000₫

Trả chậm 0% trả trước 0đ

Samsung Galaxy S25 FE 5G 8GB/256GB

15.490.000₫

18.490.000₫ -16%

Trả chậm 0% trả trước 0đ

Samsung Galaxy A17 5G 8GB/256GB

6.390.000₫

7.090.000₫ -9%

Trả chậm 0% trả trước 0đ

OPPO Find X9 Pro 5G 16GB/512GB 32.990.000₫

Trả chậm 0% trả trước 0đ

OPPO Find X9 5G 12GB/256GB 22.990.000₫

Trả chậm 0%

Xiaomi 15T Pro 5G 12GB/256GB 18.490.000₫

Trả chậm 0% trả trước 0đ

Xiaomi 15T 5G 12GB/256GB

13.490.000₫

13.990.000₫ -3%

Trả chậm 0% trả trước 0đ

vivo V60 Lite 5G 8GB/256GB 10.490.000₫

Xem thêm sản phẩm Điện thoại

5. Ứng dụng quan trọng của số nguyên tố trong thực tế

Nhiều người nghĩ số nguyên tố chỉ là khái niệm toán học trừu tượng, nhưng thực tế chúng là "xương sống" của công nghệ số hiện đại.

Mật mã hóa và an ninh mạng

Đây là ứng dụng phổ biến và quan trọng nhất. Hầu hết các hệ thống bảo mật hiện nay, như thuật toán RSA, đều dựa trên tính chất của số nguyên tố để mã hóa dữ liệu, bảo vệ tài khoản ngân hàng, thông tin cá nhân trên điện thoại và máy tính.

Nguyên lý: dùng một số rất lớn là tích của hai số nguyên tố "khủng" làm khóa công khai. Việc phân tích ngược để tìm hai số nguyên tố ban đầu là cực kỳ khó với sức mạnh máy tính hiện tại, từ đó đảm bảo an toàn cho dữ liệu.

Ứng dụng trong tự nhiên

Trong tự nhiên cũng xuất hiện số nguyên tố một cách thú vị. Ví dụ nổi tiếng là loài ve sầu Magicicada ở Bắc Mỹ có vòng đời ẩn dưới đất đúng 13 hoặc 17 năm (đều là số nguyên tố), giúp chúng tránh trùng chu kỳ với kẻ săn mồi và tăng cơ hội sống sót.

Ứng dụng của số nguyên tố trong thực tế

6. Một số khái niệm liên quan đến số nguyên tố

Thế giới số nguyên tố rất phong phú, dưới đây là vài khái niệm mở rộng thú vị:

Số nguyên tố cùng nhau: Hai số tự nhiên có ước chung lớn nhất (ƯCLN) bằng 1, ví dụ: 8 và 9 (cả hai là hợp số nhưng lại nguyên tố cùng nhau).
Số nguyên tố sinh đôi: Các cặp số nguyên tố hơn kém nhau đúng 2 đơn vị, như (3, 5), (11, 13), (17, 19).
Số nguyên tố Mersenne: Số nguyên tố có dạng 2^p - 1, trong đó p cũng là số nguyên tố.

Xem thêm:

7. Câu hỏi thường gặp về số nguyên tố

Dưới đây là một số thắc mắc phổ biến giúp bạn củng cố kiến thức.

Số 1 có phải số nguyên tố không?

Không. Theo định nghĩa, số nguyên tố phải có đúng hai ước số phân biệt. Số 1 chỉ có duy nhất 1 ước là chính nó, nên không phải số nguyên tố cũng không phải hợp số.

Tại sao số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất?

Vì mọi số chẵn lớn hơn 2 đều chia hết cho 2 nên có ít nhất 3 ước (1, 2 và chính nó), do đó là hợp số. Chỉ riêng số 2 có đúng hai ước là 1 và 2.

Có số nguyên tố lớn nhất không?

Không. Dãy số nguyên tố là vô hạn, nghĩa là bạn luôn có thể tìm được một số nguyên tố lớn hơn số đang có.

Đừng bỏ lỡ các mẫu laptop giúp bạn học tập và tra cứu kiến thức hiệu quả:

Trả chậm 0%

MacBook Pro 14 inch M5 16GB/512GB 41.990.000₫

Trả chậm 0% trả trước 0đ

MacBook Air 13 inch M4 16GB/256GB

23.990.000₫

26.490.000₫ -9%

Trả chậm 0% trả trước 0đ

Dell 15 DC15250 i7 1355U (DC5I7748W1)

20.990.000₫

21.390.000₫

Trả chậm 0% trả trước 0đ

Lenovo IdeaPad Slim 3 15IRH10 i5 13420H (83K1000HVN)

15.890.000₫

16.990.000₫ -6%

Trả chậm 0% trả trước 0đ

Acer Aspire Lite 15 AL15 71P 517D i5 12450H (NX.J7KSV.001)

14.890.000₫

15.590.000₫

Trả chậm 0% trả trước 0đ

HP 15 fc0085AU R5 7430U (A6VV8PA)

14.590.000₫

15.790.000₫ -7%

Trả chậm 0% trả trước 0đ

Asus Vivobook Go 15 E1504FA R5 7520U (NJ776W)

13.590.000₫

14.190.000₫

Trả chậm 0%

MacBook Air 13 inch M2 16GB/256GB

19.690.000₫

24.490.000₫ -19%

Trả chậm 0% trả trước 0đ

Asus Gaming Vivobook 16X K3605VC i5 13420H (RP364W)

19.690.000₫

22.090.000₫ -10%

Xem thêm sản phẩm Laptop

Xem thêm:

Tóm lại, số nguyên tố không chỉ là khái niệm toán học cơ bản mà còn là nền tảng cho nhiều ứng dụng công nghệ hiện đại, đặc biệt trong lĩnh vực bảo mật. Nắm vững định nghĩa, tính chất và cách xác định số nguyên tố sẽ giúp bạn có nền tảng toán học vững chắc hơn.

20 lượt xem

Không tìm thấy kết quả phù hợp

Online giá rẻ quá

Online giá rẻ quá

Đặt câu hỏi